有理数と無理数の決定的な違いとは？分数とルートの真相を完全解剖

有理数と無理数の決定的な違いとは？分数とルートの真相を完全解剖について押さえておきたい 事実を分かりやすい構成で解説いたします。

知識を確実に定着させるために、試験や日常の学び直しで頻出する代表的な問題を解いてみましょう。

【問題】次の数を「有理数」と「無理数」に正しく分類しなさい。

① $-7$　② $0.131313\dots$（$13$が循環）　③ $\sqrt{16}$　④ $\sqrt{8}$　⑤ $\pi - 1$

【解説と解答】

• ① $-7$ $\rightarrow$ 【有理数】
  負の整数ですが、$\frac{-7}{1}$ と表せるため有理数です。
• ② $0.131313\dots$ $\rightarrow$ 【有理数】
  $x = 0.1313\dots$ とおき、$100x = 13.1313\dots$ から引き算すると $99x = 13$ となり、$x = \frac{13}{99}$ と分数化できるため有理数です。
• ③ $\sqrt{16}$ $\rightarrow$ 【有理数】
  $16 = 4^2$ ですから、根号を外すと整数「$4$」になります。見た目に惑わされず有理数と判定します。
• ④ $\sqrt{8}$ $\rightarrow$ 【無理数】
  簡単にすると $2\sqrt{2}$ となり、根号を完全に取り除くことができません。小数は不規則に無限に続くため無理数です。
• ⑤ $\pi - 1$ $\rightarrow$ 【無理数】
  無理数である円周率から整数を引いても、小数点以下の非循環な無限列はそのまま残るため、分数にはできません。