約数の個数の求め方と裏技｜なぜ1を足す？公式の秘密を徹底解説

約数の個数の求め方と裏技｜なぜ1を足す？公式の秘密を徹底解説に関する基本知識をわかりやすくまとめました。詳細を読もうことができます。

約数の個数を求める基本ルールは、約数の個数の公式として広く知られています。対象の自然数を$N = p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdots$（ただし$p, q, r$は異なる素数）と素因数分解したとき、その正の約数の個数は$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$個で計算されます。

数学指導の現場で生徒から最も多く寄せられる疑問が、まさに「なぜ指数の右肩にある数字に1を足すのか？」という点です。結論から言えば、指数に1を足す決定的な理由は、各素因数の選び方に「その素因数を0個使う（つまり1倍にする）」という選択肢が必ず加わるからです。

具体例として、$72$という数を考えてみます。$72$を素因数分解すると、$72 = 2^3 \times 3^2$となります。$72$の約数は、必ず「2を何個使うか」と「3を何個使うか」の掛け合わせで構成されます。

• 素因数2の選び方：$2^0(=1), 2^1(=2), 2^2(=4), 2^3(=8)$ の4通り（3 + 1通り）
• 素因数3の選び方：$3^0(=1), 3^1(=3), 3^2(=9)$ の3通り（2 + 1通り）

大手進学塾の教材や数学解説でも強調される通り、2を「1個も選ばない（$2^0=1$）」という状態が存在するため、選べる個数の選択肢は指数の「3」に対して「0個、1個、2個、3個」の合計4通りになります。同様に3の選び方も「0個、1個、2個」の3通りです。これらを樹形図のように組み合わせるため、積の法則より$(3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12$個と導き出されます。

大手検索ポータルや学習Q&Aデータベースで定番の検証例となっている「600」の場合も同様です。$600 = 2^3 \times 3^1 \times 5^2$と分解されるため、2の選び方が$(3+1)$通り、3の選び方が$(1+1)$通り、5の選び方が$(2+1)$通りとなり、$(3+1) \times (1+1) \times (2+1) = 4 \times 2 \times 3 = 24$個となります。機械的な足し算ではなく、「使わないというカードが1枚ある」と視覚化することが、本質理解への第一歩です。