円のベクトル方程式を完全攻略！中心・直径・内積の公式と導出を徹底解説

円のベクトル方程式を完全攻略！中心・直径・内積の公式と導出を徹底解説の全貌を丁寧に掘り下げてご紹介します。

円のベクトル方程式の中で最も根幹をなすのが、中心の位置ベクトルと半径から組み立てる基本形です。平面上に中心 $\mathrm{C}(\vec{c})$、半径 $r$ の円があり、円周上の任意の点を $\mathrm{P}(\vec{p})$ と置きます。

円の定義より、線分 $\mathrm{CP}$ の長さは常に半径 $r$ に等しくなります。これをベクトルで記述すると次のようになります。

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

ベクトルの大きさ（絶対値）は正の実数であるため、両辺を2乗して内積の形へ展開することも頻出の手法です。

$$|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2 \iff (\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2$$

もし中心が原点 $\mathrm{O}$ であれば $\vec{c} = \vec{0}$ となるため、式は $|\vec{p}| = r$ と非常にシンプルになります。この式を座標成分 $\vec{p} = (x, y)$、$\vec{c} = (a, b)$ に直せば、高校数学IIで学ぶ $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ そのものが自然と浮かび上がります。