三角錐の体積公式はなぜ1/3？証明から高さの求め方まで徹底解説

三角錐の体積公式はなぜ1/3？証明から高さの求め方まで徹底解説の真相や最新動向に迫る! わかりやすい言葉でまとめました。

テストや入試問題で多くの受験生がつまずくのが、「問題文に高さが直接書かれていないケース」です。この場合、三角錐の高さ 求め方 三平方の定理のステップを確実に実行する必要があります。

底面が正三角形である正三角錐の場合、頂点から下ろした垂線の足（交点）は、底面の正三角形の外心（重心）に一致します。

【正三角錐の高さを求める3ステップ】
1. 底面の三角形の中線を求める： 一辺 $a$ の正三角形の高さ（中線の長さ）は $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
2. 重心による長さの比を利用： 重心は中線を $2:1$ に内分するため、底面の頂点から垂線の足までの距離は $\frac{\sqrt{3}}{2}a \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}a = \frac{a}{\sqrt{3}}$。
3. 三平方の定理で高さを算出： 側面の斜辺の長さを $l$、高さを $h$ とすると、直角三角形において $h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}$ と求まります。