二項定理の裏ワザ大全！展開・係数の時短解法と共通テスト対策

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高校数学Aの整数分野で頻出の「$3^{100}$ を 8 で割った余りを求めよ」といった余りの問題でも、二項定理は最強の威力を発揮します。

底である3をうまく変形し、$3^{100} = (9)^{50} = (8 + 1)^{50}$ と捉えます。これを二項定理で展開すると、以下のようになります。

$(8 + 1)^{50} = {_{50}\mathrm{C}_0} \cdot 8^{50} + {_{50}\mathrm{C}_1} \cdot 8^{49} + \dots + {_{50}\mathrm{C}_{49}} \cdot 8^1 + {_{50}\mathrm{C}_{50}} \cdot 1^{50}$

ここで重要なのは、最後の項（${_{50}\mathrm{C}_{50}} \cdot 1 = 1$）を除くすべての項に「8」が含まれているという点です。つまり、8で括り出すことができるため、8で割った余りは末尾の「1」であることが計算なしで即判明します。

合同式（$\mathrm{mod}$）の概念と二項定理が本質的に同じ構造を持っていることを理解していれば、桁数の巨大な指数計算であっても、わずか数秒で余りを確定させることが可能です。