二重根号の外し方を完全攻略！2がない・マイナスも瞬殺する3つの解法

二重根号の外し方を完全攻略！2がない・マイナスも瞬殺する3つの解法の要点や背景をコンパクトにまとめました。全体像を一目で把握できます。

実際の試験問題では、公式通りに「2」が素直に配置されているケースの方が稀です。受験生がつまずきやすい代表的な3大特殊パターンと、その突破手順を整理します。

パターン1：ルートの前に偶数（4や6など）がある場合（中へ押し込む）

例えば $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$ のように、内側のルートの前に「4」がある場合、必要なのは「2」だけです。余分な「2」を2乗してルートの中に戻します（$4\sqrt{3} = 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$）。
これにより式は $\sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$ となり、「足して8、掛けて12」となる組み合わせ（6と2）から、$\sqrt{6} + \sqrt{2}$ と外すことができます。

パターン2：ルートの前に係数が一切ない場合（二重根号 係数の作り方）

$\sqrt{4 + \sqrt{7}}$ のように、内側のルートの前に数字が何もないパターンです。ルートの中から2を取り出すこともできません。ここで活用するのが「分母と分子に2を掛けて分数にする」という二重根号 分数 パターンの解法です。

式全体を $\sqrt{\frac{2(4 + \sqrt{7})}{2}} = \sqrt{\frac{8 + 2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。分子は「足して8、掛けて7」なので $\sqrt{7} + 1$ と外れます。最後に有理化を行い、$\frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2}$ と導出します。

パターン3：引き算における「大引く小」の絶対原則（二重根号 マイナス 外し方）

マイナスの二重根号 $\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}}$ を処理する際、最も頻発するミスが数値の前後逆転です。根号の中身全体に被さる大きなルートの値は、数学の定義上、常に0以上（正の数）でなければなりません。

もし誤って小さい数から大きい数を引いてしまうと、結果が負の数となり数学的に崩壊します。二重根号を外す際は、必ず「$\sqrt{\text{大きい数}} - \sqrt{\text{小さい数}}$」の順序で書き出す習慣を徹底してください。