進研模試2017年11月高2数学の解答解説！平均点と難問の真相を徹底検証

進研模試2017年11月高2数学の解答解説！平均点と難問の真相を徹底検証にまつわる役立つ知識を分かりやすく発信ます。

多くの受験生がつまずき、ネットや学習アプリClearnote上でも多数の質問ノートが作成されたのが、数列の「分数型・隣接3項間漸化式への変形」と、微積分の「3次関数と放物線で囲まれた面積の立式」でした。ここでは、ベネッセ総合学力テスト 高2 11月 数学 解説の核心となる解法テクニックを浮き彫りにします。

1. 数列：特性方程式の意図と数学的帰納法の論理展開

2017年11月模試の数列におけるハイライトは、一般項 $a_n$ から新たな数列 $b_n = \frac{1}{a_n - \alpha}$ を定義させ、等差数列へと帰着させるパターンです。ここで失点した生徒の多くは、「なぜその置き換えを行うのか」という構造的意図を理解せず、機械的に計算しようとして符号の処理を誤りました。

解答作成における決定的なポイントは、以下の3ステップです。

1. 与えられた漸化式の両辺の逆数を取る、または特性方程式を用いて変形可能な基本形（等比・階差・等差）を見極める。
2. $b_n$ の初項 $b_1$ を慎重に求め、一般項 $b_n$ を求めた後、再び $a_n$ へと逆算して戻す。
3. 小問(3)で頻出の「すべての自然数 $n$ について不等式が成り立つことを示せ」という設問では、数学的帰納法を記述のフレームワークとして迷わず選択する。

2. 微分積分：接線の本数問題と「1/6公式」の適用条件

微積分の大問では、3次曲線外の点から引いた接線の本数を決定する問題が出題されました。この手の問題における定石は、「曲線上の接点 $t$ を仮定して接線の方程式を立て、それが与えられた外部の点を通る条件を $t$ の3次方程式の実数解の個数に帰着させる」という思考法です。

また、後半の面積計算では単なる定積分計算を行うと膨大な時間を消費します。放物線と直線、あるいは3次曲線と接線で囲まれる面積については、いわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」や「$\frac{1}{12}$ 公式」を答案の検算および計算短縮テクニックとして使いこなせるかが、制限時間100分を攻略する最大の鍵でした。