2次元または3次元の座標を定義

2次元または3次元の座標を定義を詳しくリサーチ! 知っておきたい 情報と解説を分かりやすく展開します。

平面座標から一歩進み、高校数学 数学IIや数学B、あるいは大学初年度の線形代数で登場するのが空間座標 3次元における距離の計算です。3次元空間の2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ の距離は次の式で表されます。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

一見すると項がひとつ増えて複雑になったように見えますが、これも直方体の対角線を求めるプロセスを分解すれば、三平方の定理を2回連続で適用しただけに過ぎません。

底面の直角三角形において「底面の対角線の二乗」を計算すると $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ となります。次に、その底面の対角線を底辺とし、高さの差 $|z_2 - z_1|$ を垂直な辺とする新たな直角三角形を垂直方向に立ち上げます。この直角三角形の斜辺こそが、3次元空間における二点間の距離 $AB$ です。したがって、底辺の二乗と高さの二乗を足し合わせると、3つの成分の二乗和が綺麗に整列します。

この考え方は、高校数学Bで学ぶベクトルの大きさと完全に一致します。点 $A$ を始点、点 $B$ を終点とするベクトル $\vec{AB}$ の成分表示は $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ であり、その絶対値記号で表される大きさ $|\vec{AB}|$ はまさにこの距離計算そのものです。空間認識の枠組みが身についていれば、公式の形に迷う余地は完全に消失します。