三角形の内接円の半径を瞬殺！公式の証明と直角三角形の裏ワザ解説

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高校数学の試験において最も頻出するパターンは、「3辺の長さから内接円の半径を求めよ」という設問です。3辺の長さ$a, b, c$のみが与えられている場合、前述の公式を利用するためには、まず面積$S$を自力で割り出す必要があります。ここには大きく分けて2つのアプローチが存在します。

ルート1：余弦定理と三角比の相互関係を用いる王道手順

文部科学省の学習指導要領に基づく標準的な解法であり、記述式試験で最も減点リスクが少ない手順です。

1. 余弦定理で角度のコサインを求める：任意の1角（通常は計算が簡単になりそうな角）に着目し、$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ を計算する。
2. 相互関係からサインを導く：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$（$\sin A > 0$）を求める。
3. 三角形の面積を計算する：$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を用いて面積$S$を算出する。
4. 公式に代入して半径を決定する：$r = \frac{2S}{a+b+c}$ に数値を代入する。

ルート2：ヘロンの公式を活用する高速ルート

3辺の長さがいずれも整数で、その和が偶数になるなど計算が平易な場合は、ヘロンの公式を用いることで三角比の計算を完全に省略できます。

半周長を $s = \frac{a+b+c}{2}$ と置くと、面積は $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ で求められます。このとき、内接円の半径$r$は以下のように極めてシンプルな形で表せます。

$$r = \frac{S}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$

例えば、$a=5, b=6, c=7$ の三角形の場合、$s = \frac{5+6+7}{2} = 9$ となります。ヘロンの公式より $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}$ です。したがって、内接円の半径は $r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ とわずか3行の計算で導き出せます。