なぜ0になる？コーシーの積分定理の直感と証明の急所を解剖

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ネット上のQ&Aサイトや初学者向けのまとめ記事では、「穴がある領域ではコーシーの積分定理は一切使えない」という極端な記述が散見されます。しかし、これは重大な誤認です。

複素解析には「経路変形の原理」という極めて自由度の高い法則が存在します。もし領域の中に特異点が存在していたとしても、積分経路を連続的に変形させる際、その特異点を一度も跨（また）がない限り、積分の値は一切変化しません。この変形の正当性を保証しているのも、ほかならぬコーシーの積分定理です。

理解を深めるために、実務や試験で頻出する複素関数論例題を検証してみます。

虚数単位を $i$ とする。半径 2 の円周 $C: |z| = 2$ を反時計回りに回る周回積分を考える。 $$I = \oint_{|z|=2} \frac{z^2 + 1}{z - 5} dz$$

この被積分関数の分母を見ると、$z = 5$ に孤立特異点が存在します。一見すると分母に特異点があるため「0 ではない値になる」と早合点して留数の計算を始めてしまう人が後を絶ちません。しかし、積分経路 $C$ の内側を観察してください。$C$ は原点を中心とする半径 2 の円ですから、内部に含まれる複素数 $z$ の絶対値はすべて 2 未満です。

特異点である $z = 5$ は、円 $C$ の遥か「外側」に位置しています。したがって、円 $C$ の内部および境界上において、関数 $f(z) = (z^2 + 1)/(z - 5)$ は完全に微分可能であり、何一つ障害物のない正則関数です。コーシーの積分定理の前提条件が100%満たされているため、複雑な式変形を行うまでもなく、積分の結果は即座に0となります。

逆に、もし積分経路が $|z| = 6$ であったなら、特異点 $z = 5$ を内部にすっぽり包み込むため、積分値はもはや 0 にはならず、コーシーの積分公式によって $2\pi i (5^2 + 1) = 52\pi i$ という有限の値を返します。分母がゼロになる点の有無ではなく、「自分が描いたループの内側にそれが捕獲されているかどうか」。この識別眼こそが、複素解析を制する最大の分水嶺です。