十二分の一公式で面積が秒速で解ける！共通テスト必須の裏ワザ徹底解説

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高校数学の微積分で登場する面積短縮公式には、1/12公式のほかに「1/6公式」や「1/3公式」があります。受験生が試験中に混乱しやすいこれらの公式について、対象となる図形と計算時間短縮のインパクトを比較表に整理しました。

公式の種類対象となる図形・交点条件計算式時短効果・計算短縮率1/6公式放物線と直線、または2つの放物線で囲まれた面積$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$約70%削減（通常2分→約30秒）1/12公式（3次）3次関数と接線で囲まれた面積（1接点・1交点）$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$約85%削減（通常3分→約20秒）1/12公式（放物線）放物線と2本の接線で囲まれた面積（交点間）$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$約80%削減（2区間積分の合算を瞬殺）1/3公式放物線、接線、および接点を通る縦線等で囲まれた面積$S = \frac{|a|}{3}(\beta - \alpha)^3$約60%削減（基本積分の省略） ※計算短縮率は一般的な高校生の解答所要時間をベースとした編集部算出データ。

1/6公式 1/12公式 違いを押さえる最大のコツは、「交わり方の次数」に注目することです。2つの単根（交点）なら差の関数は2次式になり1/6公式、重根（接点）と単根なら差の関数が3次式（または2次式の2接線区間分割）になり1/12公式が登場します。