等比数列の和の公式を完全攻略！R-1と1-Rの使い分けと導出法

等比数列の和の公式を完全攻略！R-1と1-Rの使い分けと導出法の注目ポイントを分かりやすくまとめてご紹介します。

等比数列の和は、単体で出題されるだけでなく、$\sum$（シグマ）計算や発展問題で頻出します。数学B数列公式一覧の中でも、等差数列の公式や $\sum k, \sum k^2$ と並んで最頻出のパーツです。

1. シグマ計算における等比数列の処理

シグマ計算等比数列の基本は、「シグマ記号の横に公比の指数（$r^k$ や $r^{k-1}$）があれば等比数列の和の公式を使う」という判断です。

例：$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$
これは初項 $a = 2 \cdot 3^{1-1} = 2$、公比 $r = 3$、項数 $n$ の等比数列の和であるため、 $$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = 3^n - 1$$ と瞬時に変形できます。

2. 等差数列と等比数列の積の和（差分法の応用）

入試標準〜応用レベルで必ず出題されるのが、等差数列と等比数列の積の和（例：$S = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 3\cdot 2^2 + \dots + n\cdot 2^{n-1}$）です。この解法は、等比数列の公式を証明したときと全く同じ「$S - rS$」を実行することで、残った部分が純粋な等比数列の和に帰着します。

3. 数学III「無限等比級数の和の公式」への接続

理系に進む学習者が学ぶ無限等比級数の和の公式（$S = \frac{a}{1-r}$、ただし $|r|<1$）も、第 $n$ 項までの有限和 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ において $n \to \infty$ の極限をとった結果にすぎません。有限の和を正しく理解していることが、極限の理解の前提条件となります。