円周角の定理を完全攻略！中心角との関係や3つの証明と入試頻出裏ワザ

円周角の定理を完全攻略！中心角との関係や3つの証明と入試頻出裏ワザを徹底追究! 読者が気になる 重要ポイントを凝縮して配信します。

円の幾何学を理解するうえで土台となるのが、円周角と中心角の明確な定義の違いです。円周角の定理公式まとめとして押さえるべき本質は、驚くほどシンプルですが強力な2つの性質に集約されます。

円周上に2点A、Bをとったとき、円周上の別の点Pと結んでできる「∠APB」を弧ABに対する円周角と呼びます。これに対し、円の中心Oと結んでできる「∠AOB」が弧ABに対する中心角です。この両者には、以下の絶対的な関係が成り立ちます。

1. 1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である（円周角＝中心角÷2）。
2. 同じ弧に対する円周角の大きさは、点Pが円周上のどこにあってもすべて等しい。

この円周角の定理中心角との関係性は、中学校第3学年（円周角の定理中学3年の履修範囲）で学習する幾何学のハイライトです。中心角が円の中心という固定された1点から見込む角度であるのに対し、円周角は円周上を自由に動かすことができます。点Pがどこへ移動しても角度が変わらないという「不変性」こそが、作図や証明問題において強力な武器となる理由です。