接線と弦の作る角の公式と証明｜直角や鈍角の罠と一瞬で見抜く解法

接線と弦の作る角の公式と証明｜直角や鈍角の罠と一瞬で見抜く解法の要点を丁寧に掘り下げてご紹介します。

インプットした知識を即座に得点力へ昇華させるため、厳選した接線と弦の作る角 練習問題に挑戦してみましょう。

【問題】
円Oの円周上に3点A, B, Cがあり、点Aにおける円Oの接線を直線lとする。直線l上に点Aとは異なる点Tをとる。弦ABと接線ATのなす角が∠BAT＝58°であり、点Cは角BATの内部の弧AB上ではなく、長い方の弧AB上にある。四角形ABCDが円Oに内接しており、∠ADC＝115°であるとき、∠BACの大きさを求めよ。

【ステップ解説】
ステップ1（接弦定理の発動）：
接線ATと弦ABが作る角∠BATは58°です。この角の内部にある弧は弧ABです。したがって、弧ABに対する円周角∠ACBに注目します。接線と弦の作る角の定理により、直ちに以下が確定します。
・∠ACB＝∠BAT＝58°

ステップ2（円に内接する四角形の性質の活用）：
四角形ABCDは円Oに内接しています。円に内接する四角形の対角の和は180°であるため、∠ADC＝115°の向かい側にある角∠ABCは次のように計算できます。
・∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－115°＝65°

ステップ3（三角形の内角の和でフィニッシュ）：
三角形ABCに着目します。すでに判明した角は∠ABC＝65°、∠ACB＝58°です。三角形の内角の和は180°ですから、求める∠BACは次の一算で導かれます。
・∠BAC＝180°－（65°＋58°）＝180°－123°＝57°

このように、接弦定理と円に内接する四角形の性質をシームレスに連動させる解法は、高校入試や共通テスト準備における王道パターンです。本問がスムーズに解けたなら、基礎から標準への橋渡しは完了しています。