三角錐の表面積でなぜミスする？展開図を使って一瞬で解く裏ワザ徹底解説

三角錐の表面積でなぜミスする？展開図を使って一瞬で解く裏ワザ徹底解説について押さえておきたい 事実を分かりやすい構成で解説いたします。

高校受験を目指す中学3年生にとって避けて通れないのが、高校入試 空間図形問題における三平方の定理を使った求め方です。中学1年時点では側面の高さがあらかじめ数値として与えられていますが、中3の発展問題や入試実戦では、側面の高さや三角錐の高さの求め方を自力で計算させる問題が頻出します。

例えば、すべての辺の長さが $6\,\text{cm}$ である正四面体（すべての面が1辺 $6\,\text{cm}$ の正三角形）の表面積を求める場合を考えてみましょう。

1. 1面の高さを三平方の定理で導出：
   1辺が $6\,\text{cm}$ の正三角形の頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺は $3\,\text{cm}$ ずつに2等分されます。直角三角形の比（$1 : 2 : \sqrt{3}$）または三平方の定理より、高さ $h$ は次のようになります。
   $$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\,\text{cm}$$
2. 1面の面積を算出：
   $$\text{三角形1面の面積} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2$$
3. 全表面積を合算：
   正四面体は合同な正三角形が4面あるため、求める表面積は、
   $$S = 9\sqrt{3} \times 4 = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$$

このように、平面幾何の基本定理と立体の構造をスムーズに接続できるかどうかが、難関校入試での決定的な差を生み出します。