位置ベクトルとは？普通のベクトルとの違いや公式を図解で徹底解説

位置ベクトルとは？普通のベクトルとの違いや公式を図解で徹底解説の具体的な内容に迫る! 専門的な視点でまとめました。

位置ベクトルの真価が発揮されるのが、線分の分割や図形の中心を求める公式群です。どれも一度仕組みを理解してしまえば、丸暗記に頼る必要はありません。

2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)を結ぶ線分ABを $m:n$ に分ける点について、公式は次のように美しく整理されます。

◆ 内分点・外分点の公式
・線分ABを $m:n$ に内分する点P（$\vec{p}$）：
$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$$ ・線分ABを $m:n$ に外分する点Q（$\vec{q}$）：
$$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}$$

内分点の証明はシンプルです。点Pが線分AB上にあるとき、$AP:PB = m:n$ より $n\vec{AP} = m\vec{PB}$ が成り立ちます。ここで位置ベクトルの基本変形である「後引く前（$\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a}$、$\vec{PB} = \vec{b} - \vec{p}$）」を代入して整理するだけで、上記の公式が一瞬で導かれます。外分点は「$n$ を $-n$ に置き換えたもの」と捉えれば、符号ミスを劇的に減らせます。

◆ 三角形の重心の公式
3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする三角形ABCの重心G（$\vec{g}$）は、中線を $2:1$ に内分する点として計算すると、以下の極めて均整の取れた式になります。
$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

成分表示においてもこの構造は完全に同一です。各点の座標が $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$ で与えられている場合、重心の座標は単純に $x$ 座標・$y$ 座標の平均値である $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ を計算するだけで求まります。