八角形の内角の和は1080度！公式を忘れても一瞬で解ける裏ワザ

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中学校2年生の幾何領域で学習する中学数学における多角形の内角の単元では、前述の三角形分割を抽象化したn角形の内角の和の公式が登場します。公式の正体は以下の通りです。

多角形の内角の和 ＝ 180° × (n － 2)（※nは頂点または辺の数）

この「n－2」という部分に苦手意識を持つ学習者が目立ちますが、多角形の内角の和の証明を紐解けば、なぜ「2」を引くのかは直感的に理解できます。n角形のある1つの頂点から対角線を引く場合、自分自身の頂点、そして両隣にある2つの頂点には対角線を引くことができません。つまり、対角線を引ける相手は常に「n－3」個の頂点に限られます。

引かれた「n－3」本の対角線によって切り分けられる図形を観察すると、分割された三角形の数は対角線の本数より必ず1つ多くなるため、「(n－3) ＋ 1 ＝ n－2」個の三角形が誕生します。八角形（n＝8）であれば「8－2＝6個」の三角形ができるため、多角形の内角の和の求め方として「180° × (8 － 2) ＝ 1080°」という計算方法が論理的に成立するわけです。