チェバの定理の逆はなぜ成り立つ？証明手順と入試で差がつく記述の極意

チェバの定理の逆はなぜ成り立つ？証明手順と入試で差がつく記述の極意について分かりやすく解説いたします。最新の情報をご確認ください。

逆の証明に踏み込む前に、まずは土台となるチェバの定理の基本構造を整理しておきましょう。三角形ABCの頂点A, B, Cと、同一直線上にない1点Pを結ぶ3本の直線が、それぞれ対辺BC, CA, AB（またはその延長）と交わる点をD, E, Fとするとき、以下の等式が成立します。

$$\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1$$

この公式を暗記する際の鉄則は、文字の並びを目で追うのではなく、「頂点 → 分点 → 頂点 → 分点 → 頂点 → 分点」と三角形の外周を一筆書きで巡回するリズムを身体に叩き込むことです。どの頂点からスタートしても、時計回り・反時計回りのいずれか一方向にぐるりと1周して元の頂点に戻ってくれば、分母と分子の配置を間違える心配はありません。

この定理の本質は、面積比の証明によって鮮やかに理解できます。点Pによって分割される3つの小三角形（$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$）の面積比に着目すると、線分比は以下のように面積の比として表せます。

• $\frac{BD}{DC} = \frac{\triangle PAB}{\triangle PCA}$
• $\frac{CE}{EA} = \frac{\triangle PBC}{\triangle PAB}$
• $\frac{AF}{FB} = \frac{\triangle PCA}{\triangle PBC}$

これら3つの比を掛け合わせると、分子と分母の面積が見事に相殺され、値が「1」になることが直感的に確認できます。この面積比によるアプローチは、後述する難関大の図形問題でも極めて汎用性の高い視点となります。