三角形の重心の求め方と公式を徹底解説！2対1の証明から座標まで

三角形の重心の求め方と公式を徹底解説！2対1の証明から座標までにまつわる最新トピックを分かりやすく発信ます。

幾何学的な性質を押さえた上で、大学入学共通テストや個別試験で迅速に正解を導くための三角形の重心公式を整理します。座標幾何（図形と方程式）および平面ベクトルにおいて、重心は極めて対称性の高い美しい数式で表されます。

1. 三角形の重心座標（平面・空間）
座標平面上の3頂点を$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$とすると、重心$G$の座標は以下のように「3頂点の単純平均」となります。

$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

※3次元空間座標$A(x_1, y_1, z_1)$等の場合も同様に$z$成分を加えた「3つの算術平均」でそのまま計算可能です。

2. 三角形の重心ベクトル
任意の位置ベクトルを基準点$O$としたとき、3頂点$A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})$に対する重心$G(\vec{g})$の位置ベクトルは次式で定義されます。

$$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$$

さらに、重心$G$を始点とした場合、以下のベクトル和は常に零ベクトルになるという極めて重要な恒等式が成立します。

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$$

3. 中線定理（パップスの定理）との連携
中線の長さを求める際には、辺の長さの関係式である中線定理が役立ちます。辺$BC$の中点を$M$とすると、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$が成立します。この公式で中線$AM$の長さを算出し、$AG = \frac{2}{3}AM$と掛けることで、重心までの距離を瞬時に算出可能です。