平方完成の裏ワザで頂点を5秒特定！共通テスト数学の時短テクニック

平方完成の裏ワザで頂点を5秒特定！共通テスト数学の時短テクニックにまつわる興味深い視点を詳しく紐解きます。

受験生のコミュニティや質問掲示板を調査すると、平方完成に対する深刻な悲鳴が数多く見受けられます。「分数の通分中に符号がプラスだったかマイナスだったか分からなくなる」「係数が $-3$ などのマイナスのときに、括弧の外に出す数字の掛け算を忘れて爆死する」といった声は、毎年受験生の風物詩のようになっています。

実例として、多くの受験生がペンを止めてしまう以下の悪問を考えてみましょう。

$$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 5$$

教科書通りの解き方をする場合、まず $-\frac{1}{3}$ で $x$ の項を括り出さなければなりません。「2を $-\frac{1}{3}$ で割ると $-6$ になる」という分数の割り算を挟み、さらに半分の2乗である9を足して引き、最後に $-\frac{1}{3}$ を $-9$ に掛けて $+3$ として括弧の外に出し、定数項の $-5$ と足し算して $-2$ を出す――。この複雑怪奇な迷路を通り抜ける間に、多くの生徒が符号を掛け違えて脱落します。

一方、現場の指導者たちが伝授する「微分の裏ワザ」ならどうでしょうか。式を微分すると $y' = -\frac{2}{3}x + 2$。これが $0$ になる $x$ を求めるため、$-\frac{2}{3}x = -2$ より $x = 3$。頂点の $x$ 座標はわずか3秒で出ます。あとは元の式に $x = 3$ を代入すれば、$y = -\frac{1}{3}(9) + 2(3) - 5 = -3 + 6 - 5 = -2$。頂点は $(3, -2)$ です。分数の括り出しも、括弧の外へ分配する掛け算も一切発生しません。