三角関数の合成公式はなぜSinか？図形的な導出と最大最小を徹底解説

三角関数の合成公式はなぜSinか？図形的な導出と最大最小を徹底解説について重要なポイントを解説いたします。詳細な分析をご確認ください。

Q1：cosに合成しても記述試験で減点されませんか？
A1：問題文に「$r\sin(\theta+\alpha)$ の形で表せ」という指定がない限り、cos合成を行っても数学的に同値であるため減点されることはありません。ただし、高校の定期試験や模試の解答解説は9割以上がsin合成で書かれているため、特別な理由や指定がない限りはsin合成を選択するのが最も安全です。

Q2：角αが30°や45°などの有名角にならない場合はどう書けばいいですか？
A2：$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角 $\alpha$ として答案を作成します。記述解答では「$r\sin(\theta+\alpha)$、ただし $\alpha$ は $\cos\alpha = \dots, \sin\alpha = \dots$ を満たす角」と明記すれば完全な満点解答になります。

Q3：ベクトルを使うと合成が一瞬で導出できるというのは本当ですか？
A3：事実です。ベクトル $\vec{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$ と $\vec{v} = (a, b)$ の内積を考えると、成分表示では $a\cos\theta + b\sin\theta$、定義式では $|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\text{なす角}) = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta - \beta)$ となり、内積の定義そのものが合成公式（cos型）を意味していることが瞬時に理解できます。