整数とは？ゼロや負の数の定義から数学の解法ルールまで徹底解説

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整数をより深く理解するためには、さらに広い枠組みである「有理数」との境界線を明快にしておく必要がある。有理数とは、2つの整数の比（分数 $a/b$ の形、ただし分母 $b \neq 0$）で表せるすべての数を指す。つまり、あらゆる整数は分母を1とみなせるため有理数の一部であるが、すべての有理数が整数であるわけではない。

例えば、0.75や3分の2は有理数ではあるが整数ではない。テストや実務の解法場面で重宝するルールとして、「割り算の商が余りなく割り切れるか」という判定基準が存在する。あまりにも当たり前に思えるルールだが、ディオファントス方程式をはじめとする整数の性質を利用した特殊な方程式の解法では、この「余りが出ない」という制約こそが決定的なヒントとなる。