3人の囚人問題の真相！確率が2分の1にならない理由とカラクリ

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「2人のうちどちらか1人なのだから、半々の確率（1/2）になるはずだ」と考えるのが自然な人間の直感です。では、3人の囚人問題はなぜ直感と異なる結果を生むのでしょうか。その鍵を握るのが「条件付き確率」と「ベイズの定理」です。

看守の発言という「新たな情報（条件）」が得られたとき、全体の確率がどのように再配分されるのかを検証してみましょう。

最初に恩赦を受ける人のパターンは以下の3通りで、各確率は1/3です。

• ケース1：Aが助かる確率（1/3）
  BもCも両方処刑されます。看守は「B」と言っても「C」と言っても嘘になりません。看守がコインを投げるなどしてランダムに名前を選ぶとすると、看守が「B」と答える確率は1/2です。
  →「Aが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 1/2 ＝ 1/6
• ケース2：Bが助かる確率（1/3）
  処刑されるのはAとCです。Aに対して「Bが処刑される」と嘘をつくことはできませんし、「Aが処刑される」と答えることもルール違反です。看守は確実に「C」と答えるしかありません。
  →「Bが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 0 ＝ 0
• ケース3：Cが助かる確率（1/3）
  処刑されるのはAとBです。看守はAの処刑を口にできないため、必ず「Bが処刑される」と答えます。
  →「Cが助かり、かつ看守がBと答える確率」＝ 1/3 × 1 ＝ 1/3（2/6）

看守が「Bは処刑される」と発言する事象全体の確率は、ケース1（1/6）＋ ケース2（0）＋ ケース3（2/6）＝ 3/6（1/2）となります。

ここから、看守が「B」と答えたという条件のもとで、各人が助かる条件付き確率を計算します。

囚人Aが助かる確率： (1/6) ÷ (3/6) ＝ 1/3
囚人Cが助かる確率： (2/6) ÷ (3/6) ＝ 2/3

数式が示すとおり、看守の言葉によってAの生存確率は1ミリも変動せず、情報を受け取っていないはずのCに確率が集中していることがわかります。