なぜ成り立つ？イェンゼンの不等式の直感理解から証明・Ai応用まで

なぜ成り立つ？イェンゼンの不等式の直感理解から証明・Ai応用までについて押さえておきたい ポイントを厳選して解説いたします。

イェンゼンの不等式を理解する最短ルートは、数式を丸暗記することではなく、「下に凸なグラフの形状」を視覚的にイメージすることです。下に凸な関数（例えば $f(x) = x^2$）のグラフ上に任意の2点 A $(x_1, f(x_1))$ と B $(x_2, f(x_2))$ を取り、それらをまっすぐな線分で結んでみてください。

すると、2点の間にあるすべての $x$ において、「線分（弦）の高さ」は「関数のグラフの高さ」よりも常に上（または一致する位置）にあることがひと目で分かります。この幾何学的事実こそが、イェンゼンの不等式のコアとなる物理的・直感的根拠です。

例えば、$x_1$ と $x_2$ の中点である $\frac{x_1 + x_2}{2}$ における関数の値 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)$ はグラフ上の点の高さです。一方、点Aと点Bを結ぶ線分の中点の高さは、2つの関数値の平均である $\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ となります。グラフを見れば、明らかに後者の方が高い位置にあります。すなわち、以下の関係が成り立ちます。

$$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

イェンゼンの不等式とは、この「2点の内分点における関係」を一般の $n$ 個の点、あるいは連続的な確率分布全体へと拡張したものに他なりません。「平均してから関数を通した値」よりも、「関数を通してから平均した値」の方が大きくなる——これが下に凸な関数が持つ絶対的なルールです。