3乗公式はこれで完璧！符号ミスをゼロにする覚え方と応用徹底解説

3乗公式はこれで完璧！符号ミスをゼロにする覚え方と応用徹底解説の注目されている理由を丁寧にまとめました。全体像を一目で把握できます。

公式の定着には、実際に手を動かして解く練習が欠かせません。頻出パターンを厳選した練習問題に挑戦してみましょう。

【問題1：展開】次の式を展開せよ。
$(2x - 3y)^3$

【解説】
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ において、$a = 2x$、$b = 3y$ を代入します。
$= (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3$
$= 8x^3 - 3 \cdot (4x^2) \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (9y^2) - 27y^3$
$= \mathbf{8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3}$

【問題2：因数分解】次の式を因数分解せよ。
$64x^3 + 27$

【解説】
それぞれの項を「何かの3乗」の形で見抜きます。
$64x^3 = (4x)^3$、$27 = 3^3$ なので、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を適用します。
$= (4x + 3)\{(4x)^2 - (4x)\cdot 3 + 3^2\}$
$= \mathbf{(4x + 3)(16x^2 - 12x + 9)}$

【問題3：対称式の応用】$x + y = 4$、$xy = 2$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。

【解説】
対称式の変形公式 $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ を使用します。
$= (4)^3 - 3 \cdot 2 \cdot 4$
$= 64 - 24$
$= \mathbf{40}$