余因子の求め方を徹底解説！符号の決め方から逆行列・余因子展開まで

余因子の求め方を徹底解説！符号の決め方から逆行列・余因子展開までの重要ポイントをお届けします。役立つ情報がチェックできます。

知識を確実に定着させるために、具体的な3×3行列を用いて余因子行列と逆行列を求める完全なステップを追体験してみましょう。

【問題】次の行列 $A$ の余因子行列 $\operatorname{adj}(A)$ および逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$$

ステップ1：行列式 $|A|$ の計算

第1行で余因子展開を行います（第1行第2列が「0」のため計算が容易です）。
$$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= 1 \cdot (-8 - 3) - 0 + 2 \cdot (2 - (-4)) = -11 + 2 \cdot 6 = -11 + 12 = 1$$ 行列式は $|A| = 1$（0ではないため逆行列が存在します）。

ステップ2：全9成分の余因子 $\tilde{a}_{ij}$ の計算

• $\tilde{a}_{11} = + [(-1)(8) - (3)(1)] = \mathbf{-11}$
• $\tilde{a}_{12} = - [(2)(8) - (3)(4)] = -(16 - 12) = \mathbf{-4}$
• $\tilde{a}_{13} = + [(2)(1) - (-1)(4)] = 2 + 4 = \mathbf{6}$
• $\tilde{a}_{21} = - [(0)(8) - (2)(1)] = -(0 - 2) = \mathbf{2}$
• $\tilde{a}_{22} = + [(1)(8) - (2)(4)] = 8 - 8 = \mathbf{0}$
• $\tilde{a}_{23} = - [(1)(1) - (0)(4)] = -(1 - 0) = \mathbf{-1}$
• $\tilde{a}_{31} = + [(0)(3) - (2)(-1)] = 0 + 2 = \mathbf{2}$
• $\tilde{a}_{32} = - [(1)(3) - (2)(2)] = -(3 - 4) = \mathbf{1}$
• $\tilde{a}_{33} = + [(1)(-1) - (0)(2)] = -1 - 0 = \mathbf{-1}$

ステップ3：転置して余因子行列を作成し、逆行列を導出

計算した余因子を行列に並べ、転置（行と列を反転）させます。

$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31} \\ \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32} \\ \tilde{a}_{13} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

今回は $|A| = 1$ であるため、$A^{-1} = \frac{1}{1} \operatorname{adj}(A)$ となり、逆行列は以下のように求まります。

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$