12分の1公式で微積を攻略！3次関数の面積導出と共通テスト裏ワザ

話題沸騰中の 12分の1公式で微積を攻略！3次関数の面積導出と共通テスト裏ワザについて、多角的な視点をご紹介しています。

高校数学IIの積分分野において、面積計算を効率化する数学II 積分 面積 公式の代表格が「12分の1公式」です。一般に受験界で12分の1公式と呼ばれるものには、主に以下の2つのパターンが存在します。

最も頻出するのが「3次関数と接線」によって囲まれる部分の面積です。3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とその接線が $x = \alpha$（接点）および $x = \beta$（交点）で交わるとき、その囲まれた面積 $S$ は次の式で求められます。

$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$$

もう一つのパターンが「放物線と2本の接線」で囲まれた面積です。放物線 $y = ax^2 + bx + c$ 上の2点 $x = \alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）における2本の接線と放物線で囲まれた図形の面積 $S$ は、次のように表されます。

$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$$

この2つの公式は、分母が同じ「12」であるものの、3次関数の場合は4乗、放物線（2次関数）の場合は3乗という明確な指数の違いがあります。この背景には、被積分関数の次数と積分の基本原理が関係しています。