X^2+Y^2=1の正体とは？単位円の基礎から微分・応用まで完全解説

X^2+Y^2=1の正体とは？単位円の基礎から微分・応用まで完全解説に関する質問を徹底的にまとめました。詳細な解説をご覧ください。

定期テストや大学入試の数学IIで定番の「円と直線の位置関係」。$x^2+y^2=1$と直線$y=mx+k$が共有点を持つ条件を求める際、代入して判別式$D$を使う方法もありますが、より実戦的で計算ミスを防ぐのが「点と直線の距離の公式」を使うアプローチです。

直線の方程式を一般形$mx - y + k = 0$に変形し、原点$(0, 0)$との距離$d$を求めます。

$$d = \frac{|k|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

この距離$d$と単位円の半径$r=1$を比較するだけで、状態が一目で判定できます。

・$d < 1$：異なる2点で交わる
・$d = 1$：1点で接する（接線となる）
・$d > 1$：共有点を持たない

特に接線の方程式は、円上の接点$(x_1, y_1)$における公式「$x_1x + y_1y = 1$」として瞬時に立式できるため、公式の導出過程とともに整理しておくのが得策です。