中心角の求め方を完全攻略！扇形と円錐が一瞬で解ける裏ワザ公式

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定期テストや高校入試で受験生を最も苦しめるのが、円錐の展開図における側面のおうぎ形の中心角です。多くの人が「展開図を描いて、底面の円周を求めて、それを側面のおうぎ形の弧の長さに一致させて……」と長大なステップを踏んで時間を浪費しています。

しかし、円錐の展開図には誰もが目を疑うような決定的な裏ワザ公式が存在します。

【円錐の中心角を求める裏ワザ公式】
中心角 ＝ $360^\circ \times \frac{\text{底面の半径}}{\text{母線の長さ}}$

なぜこの公式が成り立つのか、理屈は明快です。円錐を組み立てたとき、「側面のおうぎ形の弧の長さ」と「底面の円周」はピッタリ重なり合います。側面のおうぎ形を展開したときの大きな円の半径は母線であり、その円周は $2\pi \times \text{母線}$ です。一方、底面の円周は $2\pi \times \text{半径}$ です。

つまり、側面のおうぎ形が占める割合は常に「$\frac{2\pi \times \text{半径}}{2\pi \times \text{母線}}$」、すなわち約分すると「$\frac{\text{半径}}{\text{母線}}$」に完全に一致します。これに360度を掛けるだけで中心角が一発で求まる仕組みです。

さらに、円錐の側面積を求める場合もこの関係を応用し、「側面積 ＝ 母線 × 底面の半径 × $\pi$」というショートカット公式が使えます。展開図を描いて中心角を求め、そこから側面積を割り出すといった二度手間は一切不要になります。