サイン120度の値はなぜ2分の√3？単位円での求め方と符号の謎を徹底解説

サイン120度の値はなぜ2分の√3？単位円での求め方と符号の謎を徹底解説について押さえておきたい 事実を分かりやすい構成で解説いたします。

高校生の定期試験や模試で最も失点が多いのが、サイン120度の符号（プラス・マイナス）の取り違えです。

なぜサインだけがプラスになり、コサインやタンジェントはマイナスになるのか。その理由は、座標平面の4つのエリア（象限）におけるx座標とy座標の正負の符号にあります。

120度は第2象限（$90^\circ < \theta < 180^\circ$）に属します。この領域の特徴は以下の通りです。

• x座標：y軸より左側にあるため常にマイナス（負） $\rightarrow \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
• y座標：x軸より上側にあるため常にプラス（正） $\rightarrow \sin 120^\circ = +\frac{\sqrt{3}}{2}$
• 傾き（$\frac{y}{x}$）：プラス割るマイナスのため常にマイナス（負） $\rightarrow \tan 120^\circ = -\sqrt{3}$

教科書に載っている「三角関数の鈍角の公式」である $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ や $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ という等式も、暗記するものではなく「第2象限では高さ（y座標）が鋭角と同じ符号を保ち、横幅（x座標）が符号反転する」という幾何学的事実を数式化したものに過ぎません。