二等辺三角形の定理と証明を完全攻略｜つまずく原因と入試頻出の解法

二等辺三角形の定理と証明を完全攻略｜つまずく原因と入試頻出の解法を詳しくリサーチ! 知っておきたい 情報と解説を凝縮して配信します。

定理をただ暗記して使うだけでなく、自らの手で「なぜその定理が成り立つのか」を完全に論述できる状態を作ることが、中学2年数学図形分野の最重要課題です。もっとも基本でありながら入試頻出の土台となる「底角が等しいことの証明」を、補助線の設定からステップ順に解説します。

【証明すべき命題】
$\text{AB} = \text{AC}$ である二等辺三角形 $\text{ABC}$ において、$\angle\text{B} = \angle\text{C}$ であることを証明せよ。

この命題を証明するための絶対的な急所は、「頂角 $\text{A}$ の二等分線」を補助線として引くことです。これにより、ひとつの三角形の中に2つの合同候補となる三角形（$\triangle\text{ABD}$ と $\triangle\text{ACD}$）を人為的に作り出します。

【減点されない模範証明記述】

$\angle\text{A}$ の二等分線を引き、底辺 $\text{BC}$ との交点を $\text{D}$ とする。
$\triangle\text{ABD}$ と $\triangle\text{ACD}$ において、
仮定より、
$\text{AB} = \text{AC}$ ……①
$\text{AD}$ は $\angle\text{A}$ の二等分線だから、
$\angle\text{BAD} = \angle\text{CAD}$ ……②
共通な辺だから、
$\text{AD} = \text{AD}$ ……③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle\text{ABD} \equiv \triangle\text{ACD}$
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、
$\angle\text{B} = \angle\text{C}$ （証明終了）

この記述における最大の肝は、三角形の合同条件を正しく明記することです。そして、合同が証明された副産物として、「定理2：頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する」という性質も同時に導き出せます。

対応する辺より $\text{BD} = \text{CD}$ であり、対応する角より $\angle\text{ADB} = \angle\text{ADC}$ となります。直線 $\text{BC}$ 上にあるため両角の和は180度であり、合同によって半分に分割されるため、$\angle\text{ADB} = 90^\circ$ となる計算です。つまり、頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線の性質を完全に内包していることが論理的に立証されます。