円錐の母線の求め方を徹底解説！裏ワザ公式と三平方の定理で即解く技術

円錐の母線の求め方を徹底解説！裏ワザ公式と三平方の定理で即解く技術を徹底追究! 読者が気になる 情報と解説を分かりやすく展開します。

一方、問題文に「中心角」ではなく「円錐の高さ」が記載されている場合、解法の舞台は中学3年で習う幾何学の金字塔「三平方の定理」へと移ります。

円錐を頂点から底面の中心を通るように垂直に切断すると、断面には二等辺三角形が現れます。その半分を切り取ると、「底面の半径（底辺 $r$）」「円錐の高さ（高さ $h$）」「母線（斜辺 $L$）」で構成される直角三角形が浮かび上がります。直角三角形の斜辺が母線に該当するため、基本公式は以下の通りです。

$$L^2 = h^2 + r^2 \quad \Longrightarrow \quad L = \sqrt{h^2 + r^2}$$

入試問題では、この関係を利用した「円錐の高さの求め方」の逆算パターンも頻出します。母線 $L$ と底面半径 $r$ が分かっている状況から体積を求めさせる場合、$h = \sqrt{L^2 - r^2}$ によって高さを割り出さなければなりません。

合否を分ける実践テクニックとして押さえておきたいのが、教科書でおなじみの「特別な直角三角形の辺の比」です。「$3 : 4 : 5$」や「$5 : 12 : 13$」、あるいは $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の「$1 : 2 : \sqrt{3}$」といった整数比・有名比を頭に叩き込んでおくことで、複雑な2乗計算や素因数分解をショートカットし、即座に母線や高さを特定できるようになります。