共分散の求め方を完全解説！公式・エクセル計算から相関係数との違いまで

共分散の求め方を完全解説！公式・エクセル計算から相関係数との違いまでの要点を丁寧に掘り下げてご紹介します。

試験対策やアルゴリズム理解のために欠かせないのが、共分散の求め方手計算手順の習得です。公式をただ丸暗記するのではなく、計算の意味を順序立てて分解することが最短の理解への近道です。

基本となる共分散の公式（標本データ全体の平均をとる場合）は次の通りです。

$$S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

（※ここで $x_i, y_i$ は各データ値、$\bar{x}, \bar{y}$ はそれぞれの平均値、$n$ はデータ数）

手計算をミスなく進めるための5つのステップを、具体的な数値例（データ数 $n = 3$）で確認してみましょう。

【例題】
3人の生徒の「数学の点数X」と「理科の点数Y」がそれぞれ [A君: (60, 70)], [B君: (80, 90)], [C君: (70, 50)] であった場合の共分散を求めます。

ステップ1：各変数の平均値を計算する
・数学Xの平均値 $\bar{x} = (60 + 80 + 70) \div 3 = 70$
・理科Yの平均値 $\bar{y} = (70 + 90 + 50) \div 3 = 70$

ステップ2：各データの「偏差」を算出する（データ値 － 平均値）
・A君：Xの偏差 $(60 - 70) = -10$、Yの偏差 $(70 - 70) = 0$
・B君：Xの偏差 $(80 - 70) = +10$、Yの偏差 $(90 - 70) = +20$
・C君：Xの偏差 $(70 - 70) = 0$、Yの偏差 $(50 - 70) = -20$

ステップ3：偏差の積を計算する（Xの偏差 × Yの偏差）
・A君：$(-10) \times 0 = 0$
・B君：$(+10) \times (+20) = +200$
・C君：$0 \times (-20) = 0$

ステップ4：偏差積和の計算方法（偏差の積をすべて足し合わせる）
・偏差積和 $= 0 + 200 + 0 = 200$

ステップ5：偏差積和をデータ数で割る
・共分散 $S_{xy} = 200 \div 3 \approx 66.67$

このように、「偏差を出す → 偏差同士を掛ける → 合計する（偏差積和） → データ数で割る」という一連の流れさえ守れば、どのようなデータでも確実に共分散を導き出すことができます。