3乗の公式を完全攻略！符号の覚え方と因数分解の導出を徹底解説

3乗の公式を完全攻略！符号の覚え方と因数分解の導出を徹底解説の全体像を詳しく解説してご紹介します。

3乗の公式の頂点に君臨し、難関大受験生を悩ませるのが3つの3乗の公式と因数分解です。教科書の発展コラムや参考書の章末問題に必ず掲載されている以下の恒等式です。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

初見ではあまりの長さと複雑さに圧倒されますが、この式も $a^3 + b^3$ の部分に対称式の変形 $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を適用し、$(a+b)$ を一つの文字の塊とみなして因数分解を進めることで完全に導出できます。

この公式が真価を発揮するのは、3乗の因数分解応用問題において「ある特定の条件」が与えられたときです。第2因数である $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ は、以下のように2乗の和の形へ式変形できます。
$\frac{1}{2} \{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\}$

実数の2乗は常に0以上であるため、もし $a, b, c$ が実数であり、かつ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つならば、以下のいずれかが成立することを意味します。
1. $a + b + c = 0$
2. $a = b = c$

国公立大学の個別試験や私立医学部の推薦入試などでは、「$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ を満たす三角形の形状を求めよ」といった幾何学・整数論との融合問題として出題されます。公式の文字を追うだけでなく、式の値がゼロになる条件までセットで理解しておくことが、応用力獲得の鍵です。