逆行列の求め方を徹底攻略！2×2公式から3×3掃き出し法まで

逆行列の求め方を徹底攻略！2×2公式から3×3掃き出し法までの重要ポイントをご紹介します。専門的な知識が詰まっています。

サイズが3行3列以上になると、2×2のような単純な暗記公式は通用しません。そこで大学講義や専門試験でデファクトスタンダードとして用いられるのが、ガウス・ジョルダン消去法をベースにした逆行列3×3掃き出し法です。

この手法の核心は、「対象の行列 $A$ の右側に同じサイズの単位行列 $I$ を並べた拡大係数行列 $[A \mid I]$ を作り、基本変形を繰り返して左側を単位行列に変形すれば、右側に自ずと逆行列 $A^{-1}$ が現れる」という点にあります。

具体的な単位行列の変形手順と逆行列計算の手順詳細は、以下の3段階の基本行変形のみを用いて進行します。

1. ある行を0以外の定数倍する。
2. ある行の定数倍を、別の行に加減する。
3. 2つの行を入れ替える（ピボットが0になった際の一時的回避）。

実際の計算では、まず左端の第1列目を「上から順に $1, 0, 0$」にするよう変形し、次に第2列目を「$0, 1, 0$」、最後に第3列目を「$0, 0, 1$」と階段状に確定させていきます。多くの受験生が途中で自滅するのは、いきなり全体を綺麗に整えようとして複数の行変形を同時に暗算で行うためです。1列ずつ左側を単位行列化することに集中すれば、計算ミスの発生率は劇的に低下します。