三平方の定理の裏ワザ大全！高校入試の２乗計算を一瞬で解く時短極意

話題沸騰中の 三平方の定理の裏ワザ大全！高校入試の２乗計算を一瞬で解く時短極意について、多角的な視点を分かりやすく掲載しています。

中学3年 数学 三平方の定理 応用問題の単元に入ると、単一の直角三角形を扱う問題は影を潜め、複数の図形が複合した総合問題や関数との融合問題が主戦場になります。ここで解くスピードを劇的に加速させるのが、頻出図形のパッケージ化された公式群です。

真っ先に手に入れるべきは、1辺の長さが $a$ の正三角形の高さと面積 公式です。

• 高さ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
• 面積 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

通常の手順であれば、頂点から垂線を下ろして底辺を 2 等分し、$1 : 2 : \sqrt{3}$ の比から高さを求め、底辺×高さ÷2 を計算するところですが、この公式を体得していれば一辺の数値を代入するだけで 3 秒で答えが出ます。円に内接・外接する正六角形や、正四面体の体積を求める大問でも、この面積公式が基盤となるため、時短効果は試験全体に波及します。

さらに関数座標と絡めた問題で必須となるのが、座標平面 2点間の距離 公式です。2点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 間の直線距離は、

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

これは本質的に、横の移動距離 $(x$ の差$)$ と縦の移動距離 $(y$ の差$)$ を2辺とする直角三角形の斜辺を求めているに過ぎません。入試に出題される難関関数の問題では、三角形の三辺の長さをこの公式で求めさせ、前述の縮小比やピタゴラス数を適用して直角三角形・二等辺三角形の成立条件を判定させるパターンが定番です。