等号成立条件はなぜ必要？相加相乗平均で減点される真相と正しい記述法

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「相加相乗平均で等号成立条件を書き忘れるとどうなるのか？」という疑問に対する直接の回答は、「最大値・最小値問題において、その値を本当にとり得るのか（存在性）を証明していないと判断され、重大な論理欠陥として減点される」です。単なる計算ミスやおまけの書き忘れではなく、数学の論証として致命的な穴が残るためです。

数学的不等式の証明において、相加平均と相乗平均の大小関係（$a > 0, b > 0$ のとき $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$、すなわち $a+b \ge 2\sqrt{ab}$）は、両辺の大小関係を保証する道具に過ぎません。例えば、ある関数 $f(x)$ について式変形を行い、$f(x) \ge 6$ という不等式が得られたとします。これを見た受験生は直感的に「最小値は6だ」と考えがちですが、論理的にはこれだけでは不十分です。

仮に、$f(x)$ がどのような実数 $x$ を代入しても実際には「7」までしか小さくならず、決して「6」という値をとらない関数だったとしても、$f(x) \ge 6$ という不等式自体は数学的に真（正しい）のまま成り立ちます。より極端な例を挙げれば、$f(x) \ge 0$ や $f(x) \ge -100$ も不等式としては完全に正しい主張です。しかし、誰も「最小値が -100 だ」とは言いません。

高校数学IIの最大値・最小値問題で求められているのは、「下限が存在すること」ではなく「その関数が実際に到達できる境界値（値域の最小値）」です。したがって、「$f(x) \ge 6$ かつ $f(x) = 6$ となる実数 $x$ が確かに存在する」という事実を示して初めて、6が最小値であると結論づけられます。数学的不等式で等号成立の理由を問う本質は、まさにこの「値の存在性（Reachability）」の担保にあります。