円錐の体積の求め方を完全攻略！公式のなぜと計算の裏技

今注目を集めている 円錐の体積の求め方を完全攻略！公式のなぜと計算の裏技について、詳しいまとめを整理して公開しています。

理解度を定着させるための円錐 体積 練習問題に挑戦してみましょう。基礎から応用まで3つのレベルを用意しました。

【問題1（基本）】底面の半径が $4\text{cm}$、高さが $9\text{cm}$ の円錐の体積を求めなさい。（円周率は $\pi$ とする）

【解答・解説】
公式 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ にそのまま数値を代入します。
$$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 9 = 48\pi\text{ cm}^3$$
※約分を先に行う（$9 \div 3 = 3$、そして $16 \times 3 = 48$）ことで、計算ミスを最小限に抑えられます。

【問題2（標準・母線から算出）】底面の半径が $5\text{cm}$、母線の長さが $13\text{cm}$ の円錐の体積を求めなさい。（円周率は $\pi$ とする）

【解答・解説】
高さ $h$ が不明なため、三平方の定理を用いて高さを求めます。
$$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{cm}$$
高さが $12\text{cm}$ と判明したため、体積公式に代入します。
$$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = 100\pi\text{ cm}^3$$

【問題3（発展・円錐台）】底面の半径が $6\text{cm}$、上面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円錐台の体積を求めなさい。（円周率は $\pi$ とする）

【解答・解説】
切り取る前の大きな円錐を復元して考えます。
上底と下底の半径比は $3 : 6 = 1 : 2$ です。相似比が $1 : 2$ なので、切り取られた上の小円錐の高さも円錐台の高さと同じ $4\text{cm}$ となり、全体の大きな円錐の高さは $4 + 4 = 8\text{cm}$ になります。
・大円錐の体積 $= \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$
・小円錐の体積 $= \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi\text{ cm}^3$
求める円錐台の体積 $= 96\pi - 12\pi = 84\pi\text{ cm}^3$