部分分数分解で分母が3つの難問を瞬殺！数列と積分の公式＆裏ワザ

話題沸騰中の 部分分数分解で分母が3つの難問を瞬殺！数列と積分の公式＆裏ワザについて、主要な情報を分かりやすく掲載しています。

まずは、数列の分野で頻出する「部分分数分解 3連の解き方」から整理します。代表例として、次の分数数列の第$k$項を考えます。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$$

教育系Webサイト「粗茶の文系数学」や「理系ラボ」の解説でも強調されている通り、シグマ計算における部分分数分解 3つの公式の神髄は、「前2つ」と「後2つ」のペアで差を作ることです。決して $A/k + B/(k+1) + C/(k+2)$ と3つにバラしてはいけません。

具体的には、両端の因数の差に注目します。分母の両端にある $(k+2)$ と $k$ の差は $(k+2) - k = 2$ です。分子をあえてこの差の形に変形することで、次の公式が導かれます。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$$

この変形を行うことで、数列の和をとった際に第1項の後ろ半分と第2項の前半分が完全に一致し、中央の項が次々と相殺されて最初と最後だけが残ります。分母の因数が等差数列をなしている一般形 $\frac{1}{k(k+d)(k+2d)}$ の場合も、両端の差である $2d$ で全体をくくるだけで瞬時に分解が完了します。