線形代数で挫折しない！余因子の求め方と逆行列計算の完全攻略法

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3×3行列の行列式であれば「サラスの公式（たすき掛け）」で計算できますが、4×4以上の高次行列にはサラスの公式が一切通用しません。そこで必須となるのが「余因子展開（ラプラス展開）」です。

余因子展開とは、特定の1つの行（または1つの列）を選び、その成分と対応する余因子の積をすべて足し合わせることで、行列全体の行列式を求める手法です。

【第 $i$ 行に関する余因子展開の公式】
$|A| = a_{i1}\tilde{a}_{i1} + a_{i2}\tilde{a}_{i2} + \dots + a_{in}\tilde{a}_{in}$

線形代数の計算スピードと正答率を跳ね上げる決定的なコツは、「0が最も多く並んでいる行、または列」を選んで展開することです。成分自体が $0$ であれば、$0 \times \text{余因子} = 0$ となり、面倒な小行列式の計算を丸ごとスキップできるからです。

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

上記の4×4行列 $B$ の行列式を求める場合、迷わず「第2行」に着目します。第2行は「$0, 5, 0, 0$」となっており、$a_{22} = 5$ 以外の成分がすべてゼロです。

したがって、行列式の計算は実質的に以下の1項だけに圧縮されます：
$|B| = 5 \times \tilde{a}_{22}$

位置 $(2, 2)$ の符号は $(-1)^{2+2} = +1$ であるため、あとは第2行・第2列を除いた3×3の行列式をサラスの公式やさらなる余因子展開で解くだけで、一瞬で正解に到達できます。