等差数列の和の公式はなぜ逆順に足す？天才ガウスの発想法と解法

等差数列の和の公式はなぜ逆順に足す？天才ガウスの発想法と解法に関する基本知識を徹底的にまとめました。今すぐチェックことができます。

定期試験や共通テスト形式の模試で頻出の応用テーマが「等差数列の和の最大値問題」です。

初項が正で公差が負の数列（例：$50, 47, 44, \dots$）では、項が進むにつれて数値が小さくなり、やがて負の数に突入します。この数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ が最大になるのは、「各項の値が正（または0）であるギリギリの項まで足したとき」です。

解法の手順は極めて明確です。

1. 一般項 $a_n$ を求める。
2. 不等式 $a_n \ge 0$ を解き、正の値を保つ最大の整数 $n$ を特定する。
3. その求めた $n$ を $S_n$ の公式に代入する。

もう一つの重要テーマが「数列の和と一般項の関係」です。和 $S_n$ が $n$ の2次式などで与えられた状態から一般項 $a_n$ を逆算する問題では、次の関係式を用います。

$$a_1 = S_1$$
$$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)$$

$n \ge 2$ という条件の確認を怠ると減点対象になるため、記述解答では $n = 1$ のときの一致確認を必ず記述する癖をつけましょう。