円錐の体積の求め方を完全図解！なぜ1/3にするのか理由も解説

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中学3年生の数学では、高さが問題文に直接書かれておらず、底面の半径と母線の長さのみが与えられる応用問題が頻出します。この場合は三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いて高さを導き出します。

円錐を頂点を通る平面で縦に真っ二つに切断すると、断面には「母線を斜辺、底面の半径を底辺、高さを垂直辺」とする直角三角形が現れます。

母線を $L$、底面の半径を $r$、高さを $h$ と置くと、三平方の定理より以下の関係が成立します。

$h^2 + r^2 = L^2 \quad \Longrightarrow \quad h = \sqrt{L^2 - r^2}$

例えば、底面の半径が 3 cm、母線が 5 cm の円錐であれば、高さは $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$ と求まります。これにより、体積は $\frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi\text{ cm}^3$ と計算できます。

円錐の表面積と扇形の中心角の求め方

体積と並んで頻出する円錐の表面積は、「底面積 ＋ 側面積」で求められます。側面の展開図は扇形になりますが、展開図の中心角 $x$ は「$360^\circ \times \frac{\text{半径 } r}{\text{母線 } L}$」という超重要公式で一瞬で算出できます。

さらに側面積自体は「$\pi \times \text{母線 } L \times \text{半径 } r$」で一発計算できるため、表面積の公式は $S = \pi r^2 + \pi L r$ として整理しておくと大幅な時間短縮になります。

切頭体（円錐台）の体積を求める2つのアプローチ

円錐を底面に平行な平面で切り、上部の小さな円錐を取り除いた立体を「円錐台（えんすいだい）」と呼びます。円錐台の体積計算には次の手法を用います。

「元の大きな円錐の体積」から「切り取った小さな円錐の体積」を引く方法が最も安全です。相似比が $a : b$ のとき、体積比は $a^3 : b^3$ になる相似の性質を利用すると、計算量を劇的に減らすことが可能です。