極値を持つ条件の完全攻略｜判別式D>0の罠と符号変化の減点回避術

極値を持つ条件の完全攻略｜判別式D>0の罠と符号変化の減点回避術の要点を詳しく解説してご紹介します。

インターネット上の簡易な解説サイトでは、「極値を持つ条件＝微分して判別式」と短絡的に言い切る記事がいまだに存在します。しかし、大学入試の現場においてはこの俗説こそが最も危険な罠です。

誤解1：「極値を持つ」と「極大値・極小値の両方を持つ」の混同

3次関数の場合、極値を持つならば自動的に「極大値と極小値の双方を1つずつ」持ちます。しかし、これが4次関数になった瞬間、その常識は崩壊します。係数によって「極小値1つのみ」となる場合と「極小値2つ・極大値1つ」となる場合に分岐します。問題文が「極値を持つ条件」を求めているのか、「極大値を持つ条件」を求めているのかを精読しなければ、条件設定の根底が狂ってしまいます。

誤解2：「導関数がゼロ＝極値」という思考停止

前述の通り、$f'(a) = 0$ は必要条件であって十分条件ではありません。大学入試の記述解答では、以下の論理ステップを過不足なく明記することが求められます。

1. 導関数 $f'(x)$ を正しく計算する。
2. $f'(x) = 0$ となる解を求め、それが定義域内に存在することを示す。
3. その解の前後で「$f'(x)$ の符号が正から負（または負から正）へ変化する」事実を、グラフの概形や増減表を用いて具体的に示す。

この3つの手続きを踏んで初めて、減点されない鉄壁の答案が完成します。