五角形の内角の和はなぜ540度？三角形分割の裏ワザと計算の極意

五角形の内角の和はなぜ540度？三角形分割の裏ワザと計算の極意について知っておくべき 事実を分かりやすい構成で解説いたします。

Q1：五角形の1つの内角の大きさは、必ず108度になりますか？
A1：いいえ、必ず108度になるのは「正五角形（すべての辺の長さと角の大きさが等しい五角形）」の場合のみです。一般的な五角形の内角の大きさはそれぞれバラバラであり、108度でない角も存在します。ただし、どのような形状の五角形であっても、5つの内角をすべて合計した「内角の和」は必ず540度になります。

Q2：多角形の内角の和の公式「180°×(n-2)」の「-2」は何を引いているのですか？
A2：1つの頂点から対角線を引いたときに作られる「三角形の個数」を計算するために2を引いています。n角形のある頂点から引ける対角線は、自分自身と両隣の2つの頂点を除いた「n-3本」です。このn-3本の線によって、図形は「(n-3) + 1 ＝ n-2個」の三角形に分割されます。つまり「-2」は、基準の頂点から作られる三角形の個数と多角形の頂点の数との幾何学的な差を表しています。

Q3：星型五角形（星のマーク）の先端にある5つの角の和は何度になりますか？
A3：星型五角形の先端の5つの角の和は180度になります。これは通常の五角形の内角の和（540度）とは異なります。「スリッパの法則（三角形の外角の定理）」を用いて先端の角度を1つの三角形の内部に集めることで、三角形の内角の和である180度になることが証明できます。中学入試や定期テストの頻出問題ですので、540度と混同しないよう注意が必要です。