ルートの外し方を完全攻略！素因数分解の裏ワザと絶対値の罠を徹底解明

ルートの外し方を完全攻略！素因数分解の裏ワザと絶対値の罠を徹底解明にまつわる最新トピックを分かりやすく発信ます。

根号の中身が大きくなったとき、暗算で2乗を見つけようとすると計算ミスが多発します。そこで必須となるのが、数学講師が口を揃えて推奨する二乗で根号を外す計算手順の王道、「素因数分解」を用いたアプローチです。

素因数分解とは、ある自然数を素数（2, 3, 5, 7, 11…といった、1とその数以外に約数を持たない数）の掛け算だけで表現する手法を指します。この素因数分解のやり方さえマスターすれば、どんなに巨大なルートであっても迷わず簡約化できます。

具体例として、$\sqrt{72}$ を最も簡単な $a\sqrt{b}$ の形に変形する手順を追ってみましょう。

【手順1：割り算の筆算（すだれ算）で素数に分解する】
72を最小の素数である2から順に割っていきます。
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
これにより、$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ （$2^3 \times 3^2$）であることが判明します。

【手順2：同じ数を「2つ1組（ペア）」で囲む】
$72 = (2 \times 2) \times 2 \times (3 \times 3)$
ここで「2のペア」が1組、「3のペア」が1組でき、ペアになれなかった「余りの2」が1つ残ります。

【手順3：ペアになった数を1つとして根号の外へ出し、余りは中に残す】
2のペアから「2」が外へ出ます。3のペアから「3」が外へ出ます。外に出た数同士は掛け算します。
外側の数：$2 \times 3 = 6$
内側に残った数：$2$
したがって、$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ と瞬時に導き出せます。

さらに、テスト現場で使えるルートの外し方の裏ワザとして知られているのが、「平方数（1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 144…）で割れないかを真っ先に探るショートカット法」です。たとえば $\sqrt{72}$ を見た瞬間に「$72 = 36 \times 2$」と気付ければ、$36 = 6^2$ なのですぐに $6\sqrt{2}$ と1行で処理できます。素因数分解の筆算を毎回書く時間を短縮したい場合は、11から19までの2乗（$11^2=121$, $12^2=144$, $13^2=169$, $14^2=196$, $15^2=225$）を語呂合わせや反復練習で暗記しておくことが、難関校受験指導でも極めて効果的な時短テクニックとして定着しています。