外角の二等分線の定理で迷う原因は？公式の覚え方と証明・解法を徹底解説

外角の二等分線の定理で迷う原因は？公式の覚え方と証明・解法を徹底解説について知っておくべき 理由を厳選して解説いたします。

身につけた知識を実戦力へと昇華させるため、模試や定期テストで頻出する標準的な演習問題に挑んでみましょう。

【例題】

$\triangle ABC$ において、$AB = 8$、$BC = 6$、$AC = 4$ とする。
$\angle A$ の外角の二等分線と、辺BCの延長との交点をDとするとき、線分CDの長さを求めよ。

【思考プロセスと解法手順】

ステップ1：未知数を文字で置き、各線分を整理する
求めたい線分CDの長さを $x$（$x > 0$）と置きます。
図を描くと、交点DはC側の延長線上に現れます。したがって、線分BD全体の長さは「$BC + CD$」となりますから、 $$BD = 6 + x$$ と表現できます。ここを単に $6$ と置いてしまうのが典型的な初歩的失点パターンです。

ステップ2：公式への代入
外角の二等分線の定理より、 $$AB : AC = BD : CD$$ 与えられた数値を代入します。 $$8 : 4 = (6 + x) : x$$

ステップ3：比の計算と一次方程式の処理
比の左辺を簡単な整数比に直すと $2 : 1$ です。 $$2 : 1 = (6 + x) : x$$ 外項の積と内項の積が等しい性質を用います。 $$2x = 1 \times (6 + x)$$ $$2x = 6 + x$$ $$x = 6$$

【正解】$CD = 6$（なお、$BD = 12$ となります）

検証として比を確認すると、$BD : CD = 12 : 6 = 2 : 1$ となり、$AB : AC = 8 : 4 = 2 : 1$ と見事に一致します。このように、「外分点Dまでの全体距離」と「戻りの距離」を冷静に $x$ で表す習慣さえ確立すれば、外角の二等分線は確実に得点源へと変わります。