円と直線の共有点で判別式は使うな？点と直線の距離が圧倒的に速い理由

円と直線の共有点で判別式は使うな？点と直線の距離が圧倒的に速い理由について知っておくべき ポイントを分かりやすく解説いたします。

問題文で「共有点の座標を求めよ」と明示的に指示された場合は、連立2次方程式を解く必要があります。しかし、ここでも計算量を削ぎ落とす実戦的なテクニックが存在します。

連立2次方程式の効率的な解き方

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $x - y - 1 = 0$ の共有点の座標を求める場合、直線の式を $x = y + 1$ または $y = x - 1$ と変形して代入します。ここで重要なのは、係数がシンプルな文字について解くという原則です。係数に分数が生じない側を選択することで、計算の破綻を防ぐことができます。

$y = x - 1$ を円の方程式に代入すると、

$$x^2 + (x - 1)^2 = 25 \implies 2x^2 - 2x - 24 = 0 \implies x^2 - x - 12 = 0$$

$$(x - 4)(x + 3) = 0 \implies x = 4, -3$$

得られた $x$ の値を直線の式に代入し、$x = 4$ のとき $y = 3$、$x = -3$ のとき $y = -4$。したがって共有点の座標は $(4, 3), (-3, -4)$ と定まります。代入先は円の方程式ではなく、必ず次数の低い直線の式を選んでください。円の式に戻すと余計な符号の吟味が生じるためです。

接点と円の接線の方程式を活用する裏ワザ

円と直線が接している状況において、接点の座標を特定したい場合、連立方程式の重解を求めるよりも法線（中心と接点を結ぶ直線）の方程式を利用する裏ワザ解法が極めて有効です。

円の中心を通る半径は、接線と必ず垂直に交わります。直線の傾きが $m$ ならば、中心と接点を結ぶ直線の傾きは $-1/m$（垂直条件）となります。中心を通り傾きが $-1/m$ である直線の方程式を立て、もとの接線との交点を連立1次方程式として解くだけで、2次方程式を解くことなく接点座標が一瞬で求まります。

また、円上の点 $(x_1, y_1)$ における円の接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ です。この公式の逆を利用し、接線の係数と公式を見比べることで、接点座標を逆算する解法も実戦での強力な武器になります。