六分の一公式は記述で減点？なぜマイナスか証明から裏技まで徹底解説

六分の一公式は記述で減点？なぜマイナスか証明から裏技まで徹底解説に関する基本知識を徹底的にまとめました。詳細を読もうことができます。

六分の一公式を学ぶ際、多くの学習者が違和感を覚えるのが「なぜ $-\frac{1}{6}$ とマイナスがつくのか」という疑問です。面積を求める公式であるはずなのに、先頭に負の符号があることに混乱し、暗記の段階で符号ミスを犯すケースが頻発しています。

この疑問を解消する鍵は、「純粋な定積分の値」と「幾何学的な面積」の明確な区別にあります。数学における定積分の公式そのものは、次の通りです。

$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

区間 $\alpha \le x \le \beta$ において、$(x-\alpha) \ge 0$ かつ $(x-\beta) \le 0$ です。したがって、両者を掛け合わせた被積分関数 $(x-\alpha)(x-\beta)$ は、この積分区間内（端点を除く）で常に負の値（グラフが$x$軸より下側）をとります。負の値を正の方向へ定積分しているため、計算結果が負になるのは数学の定義上、至極当然の帰結なのです。

一方、私たちが「放物線と直線で囲まれた図形の面積」を求める際は、必ず「上側の関数から下側の関数を引いた差」を積分します。上に凸の放物線と直線の場合、被積分関数の2次の係数が負になるため、そのマイナスと公式のマイナスが相殺して面積は正となります。下に凸の場合も「直線 － 放物線」とするため、2次の係数 $-a$ が積分の外にくくり出され、結果として正の値が導かれます。符号の理由を構造から理解していれば、本番で迷うことはありません。