2倍角の公式は丸暗記するな！加法定理から10秒で導く裏ワザと本質

2倍角の公式は丸暗記するな！加法定理から10秒で導く裏ワザと本質の要点を丁寧に掘り下げてご紹介します。

試験本番で「あれ、cosの2倍角のマイナスはどっちだっけ？」と迷った瞬間、冷や汗が吹き出した経験はないでしょうか。結論から言えば、2倍角の公式 導出の仕組みさえ体得していれば、ど忘れによる失点は完全に防げます。

2倍角の公式とは、角度が2倍になった三角関数 $\sin 2\alpha$ や $\cos 2\alpha$ を、もとの角 $\alpha$ の三角関数で表現する等式です。この公式を生み出す親となるのが、高校数学IIの屋台骨である加法定理です。

多くの高校で使われる加法定理 語呂合わせ（「咲いたコスモス コスモス咲いた」「コスモス コスモス 咲いた 咲いた」など）で以下の基本形を覚えている受験生は多いはずです。

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
• $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

ここから2倍角の公式を作る裏ワザは至って単純です。すべての式において「$\beta = \alpha$ と置き換える」、ただそれだけで証明が完了します。

1. sin 2倍角の公式の導出

加法定理の $\beta$ に $\alpha$ を代入します。
$\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha \cos\alpha + \cos\alpha \sin\alpha$
同類項をまとめると、瞬時に次の公式が得られます。

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha$

2. cos 2倍角 3通りの導出

同様に、$\cos(\alpha + \beta)$ の $\beta$ に $\alpha$ を代入します。
$\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \sin\alpha$
これにより、まずは基本形が完成します。

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$（第1の形）

ここから、数学Iで学んだ相互関係 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ を使って式を変形します。
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ を代入すれば、
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) =$ $2\cos^2\alpha - 1$（第2の形）

逆に $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ を代入すれば、
$\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha =$ $1 - 2\sin^2\alpha$（第3の形）

このように、加法定理と基本相互関係さえ知っていれば、cos 2倍角 3通りの変形は鉛筆を走らせて数秒で導き出すことができます。

3. tan 2倍角の公式の導出

tanの加法定理でも同様の手順を踏みます。
$\tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \tan\alpha}$
分子と分母を整理すれば、そのまま公式の形になります。

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

東大塾長の指導法を公開している理系ラボや、進研ゼミ高校講座の指導データでも一貫して強調されているのは、「丸暗記した公式は極限状態の試験場で真っ先に崩壊するが、導出の経験値は絶対に裏切らない」という教育的真理です。