積和の公式は暗記不要？加法定理から秒速導出する裏技と積分法

積和の公式は暗記不要？加法定理から秒速導出する裏技と積分法に関する質問を丁寧にまとめました。詳細な解説をご確認ください。

試験の答案用紙の余白で、迷うことなく積和の公式を叩き出すための加法定理の展開手順を具体的に整理します。覚え直す必要があるのは「sinの加法定理2つ」と「cosの加法定理2つ」の並びだけです。

まず、sinとcosの混ざった積（$\sin\alpha\cos\beta$ や $\cos\alpha\sin\beta$）を作りたい場合は、sinの加法定理を展開して並べます。

① $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
② $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

この2式を足し合わせると、後ろの $\cos\alpha\sin\beta$ が綺麗に相殺されます。

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$

両辺を2で割るだけで、目的の積和公式が瞬時に得られます。
$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\}$

逆に、①から②を引けば前方の $\sin\alpha\cos\beta$ が消え、$\cos\alpha\sin\beta$ の積和公式が完成します。
$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)\}$

同様に、同種同士の積（$\cos\alpha\cos\beta$ や $\sin\alpha\sin\beta$）を作りたいときは、cosの加法定理を2段並べるだけです。

③ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
④ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

③と④を足せば $\cos\alpha\cos\beta$ が残り、③から④を引けば $-2\sin\alpha\sin\beta$ が現れます。特に $\sin\alpha\sin\beta$ を求める際、引き算によってマイナス符号が前に飛び出す現象も、この導出プロセスを視覚的に追っていれば絶対に符号を取り違えることはありません。